کورت گودل و پا های چوبین سیستم های صوری

مقدمه
برای اینکه ویژگی های علم امروزی (قرن 20 و 21) را بهتر به تصویر بکشیم، لازم است کمی به عقب بر گردیم و از رُنه دکارت (1596-1650) شروع کنیم.  با دکارت است که تصورات فلسفی از باور های قبلی وداع می کند و طرح نو ارائه می شود.

در مورد محتوای این طرح نظر ها متفاوت است. برای هگل (1770-1831) اصل خود آگاهی و تفکر خود انگیخته، یعنی مسیری که به هگل و ایده آلیزم می انجامد تعیین کننده است. برای متفکرین امروزی آنچه با دکارت آغاز می شود موضوع دیگری است: علم دقیق، ریاضی جهان روا، تسلط نظام مند بر جهان و تمدن علمی-تخنیکی یعنی مسیری که به ما امروزی ها می رسد. بعد از کوشش های فرانسیس بَکن (1561-1626) و گالیلیو گالیله (1564-1642) اندیشه یا پروژه ای ریاضی جهان روا مسیر موفقیت آمیزش را آغاز می کند و در تمام رشته های علمی تا به امروز تاثیرش را می گذارد. اندیشه ای ریاضی جهان روا هسته ای مرکزی علوم در عصر جدید  است.
ادموند هوسرل (1859-1938) یکی از فیلسوفان و ریاضی دان های برجسته ای قرن بیستم، این که با دکارت اندیشه ای کاملاً نو شکل می گیرد را در نوشته ای به عنوان "بحران علوم اروپایی و پدیدار شناسی استعلایی" چنین بیان می کند:     "کلیت بی انتهای هستی در خود یک کلیت عقلایی است که متقابلاً توسط یک علم جهان روا به طور کامل قابل تسلط است." ادورنو و هورکهایمر به این باور اند که "تخنیک جوهر این دانش است." به صورت کل می توان گفت که در عصر جدید همانطور که آغازی نو است همزمان این اندیشه تعمیم دهنده، کلیت گرا و توحید کننده است.
جیوانی ویکو (1668-1744) فیلسوف و مورخ ایتالیایی، صد سال بعد از دکارت نظری بر ضد اندیشه ای دکارت مطرح می کند، یعنی بر ضد راسیونالیزم و تکیه بر ریاضی و فیزیک. به باور وی "علم واقعی" باید نگاهی معطوف به بخش دیگری از تاریخ نماید که بر عکس تصور پیشرفت عصر جدید، ما با چرخه ای دائمِ ظهور و افول سر و کار داریم. 
با این رابطه سال 1750 کلیدی است. در این سال ژان ژاک روسو (1712-1778) در رساله ای به عنوان : دیسکورس در علوم و هنر ها، از ویکو فراتر می رود و دانش دکارتی را توهم دانش می داند. حتی اگر ما در مورد پدیده ها دانش از نوع دکارتی داشته باشیم، کمکی به ما نمی کند چون کل جهت گیری این دانش به گمراهه می رود. از نگاه وی مهم این است که ما در خود تامل کنیم و صدای وجدان را بشنویم. این نوعی نگاه رواقی است در رد گذشته و آینده ای عصر جدید، چه از نظر عقلانی نگری جهان و چه از امکانات رهایی بخش علم جدید.
در همین سال برنامه ای دیگری بر ضد عصر جدید دکارت مطرح می شود و آن نوشته ای تحت عنوان "زیباشناسی" توسط الکساندر گُتلُب باومگارتن (1714-1762) فیلسوف آلمانی است. با این اثر زیباشناسی به حیث رشته ای در فلسفه اساس گذاری می شود. این برنامه در مرحله ای اول تکمیل و اصلاح عصر جدید و علم آن است و در مراحل بعدی تجدید نظر و انقلاب در برنامه ای عصر و علم جدید است. این نگاه تا امروز پیروان دارد و حتی امروز از نگاه هنری به علم صحبت به میان است.
این تضاد ها و برنامه های رقیب در عمل به رشد تفکر عصر جدید انجامید و از این مسیر به مدرنیته ای دینامیک می رسیم که با انتقاد از خود به پیش می رود. این مدرنیته با دیالکتیک چالش و پاسخ به چالش، خود را شکوفا کرده است. در این عصر حقیقت ادعای منحصر به فردی دارد. جهان روایی و تفرُد و تکینگی ویژه اش می باشد نه کثرت گرایی و جزئی نگری.
در قرن بیستم است که این نگاه از بیخ عوض می شود. در این زمان کثرت گرایی و جزیئ گرایی مسلط می شود. این کثرت گرایی نه تنها در فلسفه بلکه در علوم هم جا می افتد. علم امروزی ادامه عصر جدید دکارتی است. در اینجا می بینیم که ادعای تمامیت گرایی رد می شود و نگاه کثرت گرا غالب می شود. نسبیت خصوصی اینشتاین (1879-1955) نشان داد که مفهوم عملی برای تصور کُل وجود ندارد برای اینکه هیچ ناظر یا چوکات مرجع از امتیاز ویژه برخوردار نیست. بلکه این رابطه ای سیستم های مستقل با زمان مستقل است که اهمیت دارد. ورنر هایزنبرگ (1901-1976)، یکی از فرزانگان فیزیک کوانتوم در نظریه ای عدم قطعیت نشان داد که حتی در یک چوکات مرجع واحد هم مقادیری وجود دارند که همزمان قابل سنجش نیستند (تکانه یا مقدار حرکت و موقعیت یک الکترون). حتی در یک سیستم واحد هم شفافیت کلی نه بلکه شفافیت جزئی ممکن است. بالاخره این نابغه ای ریاضی کورت گودل (1906-1978) بود که در نظریه ای نا کاملیت اش نشان داد که آرزوهای ریاضی جهان روا بر آوردنی نیست. ما به کُل دسترسی نداریم، دانش ما محدود و جزئی است.
این حملات بر ضد نگاه دکارتی در ده های آخر قرن گذشته شدت گرفت. نظریه ای فراکتال های بنوا ماندلبروت (1924-2010) ریاضی دان پولندی-امریکایی ، پژوهش های سینرجتیک در نظریه ای بی نظمی ها توسط هرمن هاکن (1927-) فیزیک دان آلمانی همه اشاره به گذار ها و گسستگی های ساختار ها دارد. دیده می شود که جبر و پیوستگی در ساحات محدود معتبر است. این حوزه ها در میان شان بیشتر گسسته و در تضاد با هم قرار دارند. واقعیت از یک مُدل پیروی نمی کند بلکه از چندین مُدل پیروی می کند (سطوح مختلف آنتولوجیک)، متضاد و دینامیک است. وحدت و یکدستگی فقط در ابعاد معین دیده می شود و نه در کُل.
پایان مقدمه
برای اینکه مسائل منطق و هوش مصنوعی را مورد بررسی قرار دهیم لازم است از مفهوم شناخت آغاز نماییم. شناخت در انسان شامل جریان های متعددی است مانند تفکر، حل مسائل، یادگیری و به حافظه سپاری و بازیابی محتوا (حافظه)، ظرفیت زبان و کلام، هدایت توجه و ادراک آگاه. طوری که دیده می شود در این لیست از عواطف و احساسات خبری نیست. دلیل این است که کمپیوتر ها (ماشین ها) می توانند دانش را بازنمایی کنند، تفکر را شبیه سازی کنند و مسائل را حل نمایند ولی تا حال هیچ کمپیوتری ظرفیت احساس و عاطفه را ندارد. 
امروز ظرفیت های انسانی که توسط ماشین ها قابل شبه سازی است را می توان در سه بخش خلاصه کرد.
1.    جریان های شناختی (تفکر، حافظه و یادگیری) انسان را ماشین ها می توانند توسط الگوریتم ها و روش های ریاضی شبیه سازی کنند.
2.    عواطف و آگاهی انسان ها را تا حال ماشین ها نمی توانند شبیه سازی کنند.
3.    جریان های جسمی و مادی توسط روبات ها و ماشین ها شبیه سازی می شوند.
منطق طوری که می دانیم سابقه ای طولانی دارد. پیش از دو هزار سال قبل ارسطو منطق دسته ها یا مجموعه ها را تدوین نمود. مثال این گونه استدلال شامل سه گزاره است:
اول: همه ای انسان ها فانی اند.
دوم: همه ای افغان ها انسان اند.
نتیجه: همه ای افغان ها فانی اند.
اگر گزاره های اول و دوم صادق باشند، نتیجه صادق است. این نوع استدلال را قیاس می گویند. 
مثال دیگر : اگر احمد در رشتۀ ریاضی خوب باشد، آنگاه احمد در ریاضی خوب است. این نتیجه گیری چنان مسلم است که هر طفل آنرا قبول می کند. این یک همان گویی (تاتولوژی) است.
مثال دیگری از نتیجه گیری: 
اول: اگر چیزی را در خانه خراب کنم، مادر و پدر عصبانی می شوند.
دوم: اگر مادر و پدر عصبانی باشند، مرا جزا می دهند.
هر طفل می تواند نتیجه گیری کند که:
سوم: اگر چیزی را خراب کنم جزا می بینم.
این یک نوع استدلال و نتیجه گیری زنجیره ای است.
این نوع استدلال ها و نتیجه گیری ها برای ما انسان ها امری ساده و مسلم است. مسئله این است که چگونه می توانیم این منطق را به ماشین یاد بدهیم.
برای فهم کاری که کورت گودل انجام داد، لازم است بیشتر به طور فشرده به منطق مدرن بپردازیم. منطق سمبولیک مدرن، تا جایی که به اهداف این نوشته لازم است، شامل منطق گزاره ها (قضایا)، منطق مجموعه ها و منطق محمولات درجه اول و درجه دوم می باشد.
منطق گزاره ها ساده ترین منطق است. گزاره به جملۀ اخباری یا بیانی می گوییم که یا صادق است یا کاذب. اصولاً منطق صوری در شکل ابتدایی اش منطق دو ارزشی است. مثال ها از گزاره ها:
1.    رویا مو های سیاه دارد.
2.    امروز باران می بارد.
3.    کتاب احمد قیمت بود.
در منطق مدرن این گزاره ها صوری سازی می شوند. یعنی هر گزاره به حرفی از الفبای لاتین  (لیترال) که معمولا از حرف "پی" آغاز می شود و تا پایان الفبا از حروف برای تعویض گزاره ها از زبان طبیعی به زبان سمبولیک با حروف الفبا ادامه می یابد. این گزاره ها با 5 پیوند دهنده یا عملگر یکجا می شوند و گزاره های ترکیبی و پیچیده تر را می سازند. ساده ترین راه ثبوت قضایا در این منطق استفاده از جدول صدق و کذب است. 5 عملگر این منطق شامل "اگر آنگاه" (→)، "فقط و فقط اگر" (↔)، "و" (ꓥ)، "یا" (ꓦ)و "نفی" (~) یک گزاره است.
مثلاً گزاره های : باران می بارد. و  جاده تر است را می توان با عملگر "اگر آنگاه" با هم پیوند دهیم و بگوییم: اگر باران می بارد، آنگاه جاده تر است.  همچنین می توانیم از عملگر های دیگر استفاده کنیم تا گزاره ها را با هم پیوند دهیم و قضایای پیچیده تر بسازیم. این نوع منطق توسط مدار های مُدغم در الکترونیک کمپیوتر شبیه سازی می شود و با زبان های کمپیوتر می توان این نوع گزاره ها را بیان کرد و نتیجه گرفت.
"اگر آنگاه" به استدلال شرطی هم معروف است چون وقوع گزاره ای دوم مشروط به وقوع گزاره ای اول است. در این جمله توجه کنید: اگر امروز تولد رویا باشد، آنگاه او جشن خواهد گرفت. بخش اول این جمله، آنچه بعد از اگر می آید را "مقدم"می گویند و آنچه بعد از آنگاه می آید را "تالی" می گویند. وقتی مقدم رخ دهد تالی نیز باید محقق شود. این را "تصدیق مقدم"  (modus ponens) می گویند. به همین طور وقتی تالی روی نمی دهد، مقدم هم نباید صادق باشد ، این را "انکار تالی یا نفی تالی" (modus tollens) می گویند.
در استدلال شرطی درست و نا درست اش را باید از هم متمایز کنیم:
1.    تصدیق مقدم (استدلال درست): اگر امروز جمعه باشد، آنگاه ما به تخت سفر (میله جایی در هرات) هستیم.
امروز جمعه است. بنا بر این ما در تخت سفر هستیم.
2.    تصدیق تالی (استدلال نا درست): اگر این نمایشنامه اُتیلو باشد، آنگاه توسط شکسپیر نوشته شده است.
این نمایشنامه توسط شکسپیر نوشته شده است. بنا بر این این نمایشنامه اُتیلو است.
3.    رفع (انکار) مقدم (استدلال نا درست): اگر آنها مرد باشند، آنگاه تنبان پوشیده اند. آنها مرد نیستند، بنا بر این تنبان نپوشیده اند.
4.    رفع (انکار) تالی (استدلال درست): اگر طالب عاقل باشد، آنگاه دروازه های مکتب را به روی دختران باز می کند. طالب دروازه های مکتب را بسته نگهداشته است، بنا بر این طالب عاقل نیست.
منطق مجموعه ها فراتر از منطق گزاره ها می رود. این منطق از گزاره هایی صحبت دارد که شامل گزاره هایی از نوع "همه"، "بعضی" و یا "هیچ یک" می باشد. این منطق را ارسطو تدوین نموده است و از قرن هجدهم به اینسو، تعدیلات در آن آمده است. چهار نوع گزاره در این منطق مطرح است.
1.    موجبۀ کلی: همه ای انسان ها فانی اند.
2.    سالبۀ کلی: هیچ انسانی بی فرهنگ نیست.
3.    موجبۀ جزئی: بعضی از انسان ها شاعر اند.
4.    سالبۀ جزئی: بعضی از انسان ها فیلسوف نیستند.
در منطق سمبولیک برای بیان کمیت ها دو سور منطقی وجود دارد که یکی سمبول "همه" است ، سور عمومی () و دیگری سمبول "بعضی" ، سور وجودی (). با استفاده از این دو سور و عملگر های منطق گزاره ها و قوس گیری معمول در ریاضی، می شود منطق محموله ها را صوری سازی نمود.
ساده ترین راه برای ثبوت قضایا در منطق مجموعه ها استفاده از دیاگرام های وِن است.
منطق محمولات درجه یک: می دانیم که همۀ گزاره ها شامل کمیت ها نیست. ما با گزاره های ساده سر و کار داریم که از مبتدا (موضوع) و خبر (محمول) ساخته شده اند که در آنها صفتی به شخصی یا شی ای نسبت داده می شود. مثلاً: ملا صدرا فیلسوف است. در اینجا ملا صدرا موضوع و فیلسوف است محمول گزاره است. بعضی از محمول ها نیاز به چند نام دارند تا جمله ای ساخته شود. مثلاً در افعال متعدی که نیاز به موضوع و محمول دارند مانند: احمد عاشق مریم است. احمد محمود را می زند. افعال متعدی فقط یک زیر مجموعه از دسته ای "محمول ها ارتباطی" است، یعنی محمول هایی که چندین اسم خاص را با هم ترکیب می کنند تا جملۀ ساخته شود. مثال های محمول های ارتباطی از نوع: "پهلوی ایکس"، "بلند تر از"، "کمتر از"، "زیر مجموعۀ ایکس" و غیره است. محمولی که یک اسم می گیرد را محمول یک خانه ای یا بی رابطه می گویند. محمول ارتباطی که شامل دو اسم است محمول دو خانه ای و به همین ترتیب سه خانه ای و غیره نامیده می شود. 
استفاده از مفهوم درجه یا مرتبه در منطق محمولات اشاره به سلسله مراتب دارد که افراد را با صفات و صفاتِ صفات شان ترسیم می کند. هر زبان که متغیر هایش در حوزۀ افراد و اشیا (اشخاص، درخت ها، ملت ها، اتم ها، سیاره ها و غیره) باشد به آن زبان درجه یک یا مرتبه ای یک می گویند. بدینگونه منطقی که با افراد یا موجودیت ها سر و کار دارد را منطق محمولات درجه یک می نامند به دلیل اینکه متغیر های این منطق از افراد و موجودیت ها نمایندگی می کند.
افراد و اشیا دارای صفات متعدد می باشند مانند شاعر بودن، فیلسوف بودن، انسان بودن، سبز بودن و غیره. هر زبانی که متغیر هایش در محدوده ای افراد و صفات شان باشد زبان درجه دو یا مرتبه دو نامیده می شود. زبانی که متغیر هایش در محدوه ای افراد، صفات و صفاِت صفات شان باشد زبان درجه سه خواهد بود. از نگاه تئوریک زبان های درجه (n) ممکن است. به این آرایه سیستم تیپ ها می گویند. به دلیل اینکه در این گونه سیستم ها تضاد ها وارد می شوند (پارادوکس رَسل)، برتراند رَسل مفهوم سلسله مراتب تیپ ها را مطرح کرد که در آن محمولات درجه ای بالا تنها می توانند با رابطه به محمولات و افراد درجه پایین اعتبار داشته باشند. هیچ محمولی نباید به خودش بر گردد (خود ارجاع باشد). منطق درجه دوم شامل دو درجه ای اول و دوم است.
در اینجا است که به منطق دان و ریاضی دان آلمانی کورت گودل بر می خوریم. در سال 1930 گودل در رسالۀ دوکتورایش ثابت نمود که منطق محمولات درجه یک هم صادق است و هم کامل. معنای این ثبوت قرار ذیل است:
صادق یا صحیح بودن: به این معنا است که با تکیه به مفروضات بنیادین (اکسیوم ها، اصول موضوع) در این منطق و قواعد نحوی آن فقط اشکال صحیح مشتق می شوند.
کامل بودن: به این معنا است که همه ای اشکال صحیح را می توان مشتق نمود که میل داریم. هیچ شکل صادق نیست که نتوان آنرا مشتق نمود.
برای علم کمپیوتر این نتیجه تسلی بخش است. یعنی ممکن نیست که کمپیوتر محاسبه کند و محاسبه کند و در آخر شکل یا فورمول نا درست بدست دهد.
یک موضوع را نمی توانیم استثنا قرار دهیم و آن اینکه ممکن است کمپیوتر زمان زیادی لازم داشته باشد تا به تصمیمی در مورد صادق و کاذب بودن فورمول ها برسد. این خبر خوشی نیست. حتی با منطق گزاره ها وقتی تعداد متغیر ها زیاد باشد، زمان محاسبه برای تصمیم بر صادق و کاذب بودن فورمول به طور نمایی (exponential) افزایش می یابد.
با منطق محمولات درجه دو است که با محدودیت ها بر می خوریم و نظریه ای نا کاملیت گودل مطرح می شود. با این منطق می توانیم حساب اعداد طبیعی را صوری سازی کنیم. با صوری سازی صحیح حساب آیا می توانیم آن را به تمام ریاضی تعمیم دهیم؟ اگر بلی، آیا تمام ریاضی شناخته شده را می توانیم روی یک کمپیوتر صوری سازی کنیم و کمپیوتر همه چیز را در بارۀ جهان محاسبه کند؟ تامل بر منطق محمولات درجه دو نشان می دهد که این کار نا ممکن است. اگر منطق محمولات درجه یک هم صادق و هم کامل است ولی به صورت کل مشکل تصمیم گیری دارد، منطق محمولات درجه دو، نقطه ضعف های بیشتری دارد. نتیجه گیری: یک کمپیوتر هرگز نمی تواند تمام صفات جهان واقعی را منطقاً محاسبه کند. این نه مسئله ای تخنیک است، نه مسئله ای تکنالوجی معلوماتی، بلکه یک مسئله ای اصولی است، یعنی یک مسئله ریاضیاتی است.
در سال 1931، کورت گودل نشان داد که منطق محمولات درجه دو یا صادق نیست یا کامل نیست. این ثبوت وی را به برای همیشه در قلۀ تفکر ریاضی قرار داد. برای اینکه امید ریاضی دان ها برای صوری سازی همه چیز را نقش بر آب نمود. متاسفانه که وی ناشناخته مانده است. کورت گودل دوست نزدیک البرت اینشتاین بود و در سال 1949 در پوهنتون پرینستن در ایالات متحده اولین تئوری از نگاه صوری صحیحِ سفر در زمان توسط وی ارائه شد. اگر گودل نمی بود صنعت فیلم های علمی-تخیلی بسیار فقیر تر از آن بود که هست.
گودل نشان داد که سیستمی که لا اقل قدرت حساب را دارد همزمان نمی تواند هم صحیح باشد و هم کامل. هر سیستم نا متناقض که قدرت کافی برای صوری سازی ریاضی معمولی را دارد، مانند منطق محمولات درجه دو، نا کامل است.
تبعات این ثبوت را می توان هضم نمود؟ یک سیستم مفروضات بنیادین (اکسیوماتیک) را بگیرید، یعنی مجموعه ای از مقدمات صادق و فورمول بعد از فورمول صحیح مشتق کنید. بعد از مدتی نا گهان فورمول های بدست می آیند که نمی دانیم و نمی توانیم ثابت کنیم که صحیح اند یا غلط. گیج کننده است، چون تمام منطق بر این اصل قرار دارد که اگر مقدمات ما صادق باشند و قواعد استنتاج هم صحیح، همیشه گزاره های صادق و صحیح نتیجه خواهد بود. این تا منطق محمولات درجه یک صحیح است ولی با منطق محمولات درجه دو این به قیمت کامل بودن بدست می آید. این هزینه را امروز می پردازیم. با منطق کاذب نمی شود کاری کرد ولی با منطقی نا کامل ولی صادق می توان کار کرد (به قول مولانا منطق پا دارد ولی پایش چوبین است). در منطق های درجه بالا گزاره هایی ایجاد می شود که در چوکات این منطق ها در مورد صادق و کاذب بودن شان نمی شود فیصله نمود.
ثبوت گودل بسیار پیچیده است، طوری که ریاضی دان ها هم هفته ها و ماه ها لازم دارند تا آن را بفهمند چه رسد به ما مردم عام. ولی می شود نظری اجمالی به آن انداخت. قبل از آن تز های نظریه را بیان می کنیم و بعد به شرح مسئله می پردازیم:
تز اول ناکاملیت گودل: هر سیستم صوری به قدر کافی قوی، و خود ارجاع قابل شمارش، یا نا کامل است یا در خود متناقض است.
تز دوم نا کاملیت گودل: هر سیستم صوری به قدر کافی سازگار (نا متناقض) نمی تواند نا متناقض بودن خویش را ثابت کند. 
گودل منطق دان بود. وی می دانست که در منطق نیاز به زبان صوری است تا بتوان گزاره ها را باهم پیوند داد. این را زبان موضوع می گویند. ولی با امکانات یک زبان صوری کار های بیشتری ممکن است. می توانیم در بارۀ منطق صحبت کنیم که این را فرا زبان می گوییم.  هر انسان قادر به این کار است. ما می توانیم از زبان طبیعی خود مثلاً فارسی استفاده کنیم تا در مورد جهان صحبت کنیم: بهار فصل زیبا است.، سخن رانی استاد جالب بود. از این نوع جملات می توانیم به دلخواه تولید کنیم. ما می توانیم از زبان فارسی استفاده کنیم تا در مورد خود زبان فارسی صحبت کنیم مثلا در مورد گرامر اش. مهم است متوجه باشیم که هم زبان موضوع و هم زبان فرا موضوع با ابزار زبان طبیعی فارسی بیان می شود. این موضوع یاد گیری گرامر را مشکل می کند. گودل دقیقاً از همین انتزاع استفاده نمود. کاری که وی نمود مشکل تر از مشکل بود.
گودل روشی اختراع نمود که به نام گودلی سازی گزاره ها معروف است که در آن از زبان گزاره ها در بارۀ گزاره ها می شود صحبت کرد. با مخلوط نمودن زبان موضوع (زبان منطق) و فرا زبان (زبان در مورد منطق) با همان سمبول های زبان موضوع و فرا زبان گودل توانست گزاره های خود ارجاع خلق نماید. بعد از 20 صفحه ثبوت ریاضی وی به گزاره ای (F) می رسد که ترجمه اش به زبان روزمره ای ما این طور است: گزاره ای با عدد F قابل ثبوت نیست. یعنی چه؟ در واقع گزاره می گوید "من قابل ثبوت نیستم". اگر F صادق باشد آنگاه فرمول F قابل ثبوت نیست. بناءً سیستم کامل نیست چون لااقل یک گزاره هست که قابل ثبوت نیست. اگر فرمول F غلط باشد آنگاه لا اقل یک فرمول موجود است که صحیح اشتقاق شده است ولی غلط است. بناءً سیستم صادق نیست.
در پهلوی استفاده از فرا زبان، گودل مشتقات گزاره هایش را دوباره در همین گزاره ها قرار می داد و بدین ترتیب به گزاره هایی دست می یافت که خود ارجاع بودند، یعنی در بارۀ خود صحبت می کردند. در آخر ثبوت، گزاره ها ثبوت خویش را نفی می کردند. نتایج ثبوت گودل برای منطق ویرانگر بود: اگر سیستم صادق یا درست باشد، کامل نیست. اگر سیستم کامل باشد صادق نیست.
مسئله ای حقیقت یابی در گزاره های خود ارجاع از زمان یونانیان باستان شناخته شده است. گزاره ای کهن در شکل: "اهل جزیره ای کریت می گوید: همه ای اهالی کریت دروغ می گویند." پرسش: آیا این گزاره صادق است یا کاذب؟ 
به خاطر می سپاریم: منطق محمولات درجه دو صادق است ولی کامل نیست. با امکانات این منطق می توان گزاره هایی تولید نمود که صدق و کذب شان در چوکات این منطق قابل ثبوت نیست.
حساب، الجبر اعداد طبیعی است. بر مبنای آن الجبر ها برای اعداد کامل، اعداد حقیقی، اعداد گویا و اعداد مختلط ایجاد شده اند. با توجه به ثبوت گودل تبعات اش برای ریاضی را تصور کنید! 
تبعات ثبوت گودل برای زندگی روزمره در چیست؟ زبان های طبیعی مانند فارسی قوی تر از زبان های درجه یک و درجه دو است. در این زبان می توان گزاره های بسیار پیچیده را فورمول بندی کرد. انسان از منطق های درجه بالا به طور شهودی استفاده می کند که در نهایت می توانند نا درست باشند، ما نمی دانیم. مثلاً وقتی استنتاجات علمی را با کلمات و متن ها انجام می دهیم، طوری که سیاست گران و دانشمندان می کنند، باید لا اقل بدانیم که این نتایج همیشه صادق نیستند. 
شاید برای خواننده این پرسش ایجاد شود که آیا می توانیم به محاسبات روزمره اعتماد کنیم؟ یعنی در حساب عادی بعد از استفاده از قواعد درست به نتایج غلط برسیم یا نتایج قابل ثبوت نباشند؟ نه! محاسباتی که گودل انجام داد را ما مردم عام و یا دانشمندان در پژوهش های روزمره انجام نمی دهیم. ترفند گودل این بود که در منطق در مورد منطق صحبت می کرد یا به عبارت دیگر فرا گزاره ها را ایجاد می کرد. بر این مبنا بود که وی توانست گزاره های خود ارجاع را ایجاد کند. تنها در صورت خود ارجاعیت گزاره ها است که به نتایج گودل می رسیم.
  در اینجا است که مسئله ای هوش مصنوعی مطرح می شود. البته هوش مصنوعی در آینده که در آن حتماً گزاره های خود ارجاع را ایجاد خواهیم کرد. ذهن ما می تواند به بهترین وجه با مفهوم "من" یا "خود" کار کند. از این "من" یا "خود" چیزی خود ارجاع تر نیست. زمانی که هوش مصنوع به مفهومِ خود برسد، یعنی آگاهی پیدا کند، کورت گودل به دیدنش خواهد آمد و اثرات ثبوت گودل خود را نمایان خواهد کرد. به ویژه زمانی که آگاهی به خود آگاهی برسد! کوشش های امروزی در هوش مصنوعی برای ایجاد هوش مصنوعی قوی یا هوش مصنوعی عمومی است که گویا شامل احساسات هم خواهد شد. تا آن زمان باید راه درازی را پیمود اگر اصولاً ممکن باشد.
مستقل از مشکل هوش مصنوعی قوی و ثبوت گودل، این ثبوت تبعات معرفت شناختی هم دارد. در مورد این تبعات جدال های متفاوتی وجود دارد، ولی یک موضوع یقینی است و آن این است که ما واقعیت را تنها با ابزار صوری نمی توانیم بیان کنیم. این ممکن نیست که وجوه مختلف واقعیت را با یک زبان صوری چه ریاضی و چه منطق صوری سازی کنیم. واقعیت چیزی بیشتر از امکانات منطق و ریاضی است. به عبارت دیگر جهان پیچیده تر از تئوری های ما است. مفهوم حقیقت و مفهوم قابل ثبوت بودن را نمی توانیم هم آهنگ کنیم. حقیقت های بیشتری وجود دارند از آنچه ما به شکل صوری مشتق کنیم و ثابت سازیم.
این مسئله برای گودل شاید مشکلی ایجاد نمی کرد، چون او افلاطونی بود. وی به اندیشه ها، اعداد و قواعد شان واقعیت قایل بود. ولی مخالفین وی شوکه شده بودند. این به چه معنا است که نمی شود با ابزار زبان های صوری واقعیت را به طور کامل باز نمایی کرد؟ پس انسان چگونه فیصله می کند؟ نه که به شکل صوری؟ آیا هوش مصنوعی هم نمی تواند فیصله های صوری کند (فیصله های غیر آماری)؟
اگر ما واقعیت را نمی توانیم به صورت کامل صوری سازی کنیم، چگونه می توانیم آن را به کمپیوتر تحمیل کنیم؟ چگونه می توانیم نتایج کمپیوتر که سمبول های صوری را دستکاری می کند و با پیرامونی پیچیده تر از حساب اعداد سر و کار دارد اعتماد کنیم که همیشه گزاره های صادق تولید کند؟ ما نمی توانیم این اطمینان را داشته باشیم و نباید داشته باشیم. تا زمانی که سیستم های هوش مصنوعی سیستم های صوری باشند در محدوده ای امکانات زبان های صوری باقی می مانند. مرز های ریاضی مرز های هوش مصنوعی صوری است. هوش مصنوعی که مبنای آن منطق صوری باشد نمی تواند همه ای جوانب واقعیت را مُدل سازی کند.
طوری که ذکرش رفت، منطق محمولات درجه یک مشکل تصمیم گیری در زمان متناهی دارد، گرچه هم کامل است و هم صادق. در سال 1936 ریاضی دان انگلیسی اَلَن تورینگ (1912-1954) نشان داد که مشکل تصمیم گیری منطق محمولات درجه یک غیر قابل تصمیم گیری است. از راه استنتاج می شود تضادی را یافت اگر موجود باشد، ولی اگر تضادی موجود نباشد، در زمان متناهی نمی شود آن را یافت. این مشکلی برای قابل محاسبه بودن ایجاد می کند. این مشکل در انفورماتیک به تغییر دیدگاه انجامید، یعنی مشکل نقطۀ توقف ماشین تورینگ. ماشین تورینگ یک مُدل انتزاعی از کمپیوتر است که می تواند هر آنچه قابل محاسبه است را محاسبه کند. این اندیشه نقطه آغازی در بحث های انفورماتیک نظری است. پرسش این است که آیا با یک دخولی دلخواه کمپیوتر می تواند در زمان متناهی جوابی  (خروجی) درست ارائه کند؟ پاسخ این است که این امر تضمین شده نیست. بر عکس، ما الگوریتمی در اختیار نداریم که پیش از محاسبه این امر را تعیین کند. اگر بد چانس بودیم، ممکن است کمپیوتر زمان طولانی محاسبه کند و نتیجه ای بدهد که به درد نخورد. این موضوع در یک فیلم علمی-تخیلی به نام "مفت سواری در کهکشان" ترسیم شده است: از کمپیوتر پرسیده می شود که معنای زندگی چیست؟ بعد از چند میلیون سال محاسبه،  کمپیوتر به نقطه ای توقف می رسد و جواب می دهد "42" . مشکل نقط ای توقف در انفورماتیک از نگاه الگوریتمیک غیر قابل تصمیم گیری است. این استفاده ای عملی از منطق محمولات را محکم صدمه می زند.
به کمک عبارت ها یا بند های هورن، در ساحه ای محدود و توابع یک خانگی، تصمیم گیری ممکن است و در کمپیوتر عملی می شود. الفرد هورن (1918-2001) ریاضی دان امریکایی، این روش را در منطق محمولات ایجاد نمود. بدینصورت در محدوده این منطق محمولات درجه یک کامل، صادق و قابل تصمیم گیری است. زبان "پرولاگ" دقیقاً از همین منطق مبنی بر بند های هورن استفاده می کند تا برنامه ریزی منطقی ممکن شود. از این زبان می شود برای ثبوت تئوری های ریاضی و پردازش به زبان استفاده کرد. این منطق اساس هوش مصنوعی است، با وجود اینکه محدودیت هایش را بیان کردیم. بعضی اوقات محاسبه در زمان متناهی ممکن نیست و ممکن است کمپیوتر زمان نا متناهی محاسبه کند. مثلاً محاسبه ای "" با دقت دلخواه، باعث می شود که کمپیوتر به نقطه ای توقف نرسد و سالها محاسبه کند بدون اینکه خانه های بعد از اعشار تمام شوند و یا تکرار شوند! تمام هوش مصنوعی ضعیف (امروزی) اساس الگوریتمیک دارد و توسط الگوریتم ها در کمپیوتر های دیجیتال عملی می شود.
آیا ممکن است هوش انسان را هم از راه الگوریتم ها شرح داد؟ این مسئله ای بحث بر انگیز بوده است. یکی از منتقدین شهیر هوش طبیعی الگوریتمیک، راجر پِنروس (1931-) ریاضی دان انگلیسی است. وی در سال 1989 نقدی بنیادی بر هوش مصنوعی نمود. وی به این باور است که هوش مصنوعی به نامش نمی ارزد چون فقط الگوریتمیک است در حالیکه هوش انسان غیر الگوریتمیک است. در آن زمان وی نمی توانست این ادعای خویش را ثابت کند و مخالفین هم نمی توانستند عکس آن را ثابت کنند. شاید این به دلیل یک سوء تفاهم بوده باشد. پنروس هوش را با رابطه با آگاهی بیان می کرد چون انسان هم هوش دارد و هم آگاهی. جریان های غیر الگوریتمیک در انسان چه می توانند باشند؟
ما می دانیم که در پهلوی جریان تفکر معمولی، انسان ظرفیت شهود، درک مستقیم، مکاشفه، الهام و غیره دارد. ارشمیدوس وقتی "هوریکا!" گفت، خودش نمی دانست چگونه نا گهان قانون خاصیت شناوری در ذهنش متبادر شد. اینشتاین از کجا می دانست که فضای پیرامون منحنی است؟ نیلز بوهر، ورنر هایزنبرگ، اروین شرودینگر چگونه توانستند فیزیک کوانتوم را خلق کنند؟ برای چنین پدیده های هیچ نوع الگوریتم وجود ندارد. آیا می شود در آینده شهود و الهام را الگوریتمیک ساخت؟ اگر پاسخ مثبت باشد، می توان کمپیوتر هایی ساخت که شهود و مکاشفه بخشی از ظرفیت های شان باشد.